Question

已知函数，（为实数），，．

（1）若，且函数的值域为，求的解析式；

（2）在（1）的条件下，当时，是单调函数，求实数的取值范围．

Answer

（1）；（2）.

【解析】

试题分析：（1）由可得关于的方程,再由值域,可知其最小值为,由函数最值可得关于的另一方程,联立解方程组可得,从而得的解析式；（2）对进行化简知其为一元二次函数,由函数在单调可知, 在一元二次函数的对称轴的一侧,利用对称轴与区间关系,可得关于的不等式,解得实数的取值范围.

试题解析：

（1）∵，∴ ①

又函数的值域为，所以，

由，知，即 ②

解①②，得，

∴，

∴

（2）由（1），得，

∵当时，是单调函数，

∴或，即或，

则实数的取值范围为．

考点：1.函数的单调性；2.一元二次函数.