Question

选修4-1：几何证明选讲

如图, 三边上的点、、都在上, 已知.

（1）求证：直线与相切；

（2）若,且,求的长.

Answer

（1）详见解析（2）10

【解析】

试题分析：（1）证明直线与圆相切，一般证角为直角，因为所以，而因此由等腰三角形底边中线性质得（2）由弦切角定理及圆周角与圆心角关系得，因此

试题解析：（1）,又.

如图, 连接又点在上, 直线与相切.

（2）如图, 延长交于点,连接.由（1） 知是切线,

弦切角.

又,而,得.

又,于是.

考点：弦切角定理，等腰三角形底边中线性质

【名师点睛】1.解决与圆有关的成比例线段问题的两种思路

（1）直接应用相交弦、切割线定理及其推论；（2）当比例式（等积式）中的线段分别在两个三角形中时，可转化为证明三角形相似，一般思路为“相似三角形→比例式→等积式”．在证明中有时还要借助中间比来代换，解题时应灵活把握．

2．应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等．