Question

如图, 在四棱锥中,为等边三角形, 平面平面,四边形是高为 的等腰梯形, 为的中点.

（1）求证：；

（2）求到平面的距离.

Answer

（1）详见解析（2）

【解析】

试题分析：（1）证明线线垂直，一般利用线面垂直判定与性质定理，经多次转化得证，而其中转化时，往往需结合平几中垂直条件，如等比三角形中线垂直底边，对应面面垂直条件，一般利用面面垂直性质定理将其转化为线面垂直，即由平面平面平面得平面,（2）求点到面距离，一般利用等体积法求高或根据线面垂直作高，由于（1）知平面，因而可将其转化为面面垂直：取的中点,则平面平面,再过作，则得平面，即到平面的距离，然后在对应三角形中求解即可.

试题解析：（1）证明：因为是等边三角形,为的中点, 所以.又因为平面平面平面,平面平面,所以平面,又平面,所以.

（2）取的中点,连接,由题设知,, 由（1） 知平面,又平面,所以.因为,所以平面.过作,垂足为,则,因为,所以平面.因为,所以,即到平面的距离为.（另外用等体积法亦可）

考点：线面垂直判定与性质定理，面面垂直判定与性质定理

【思想点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.

（1）证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.

（2）证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.

（3）证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.