Question

已知函数

（Ⅰ）若函数f（x）的图象在x=0处的切线方程为y=2x+b，求a，b的值；

（Ⅱ）若函数在R上是增函数，求实数a取值范围；

（Ⅲ）如果函数有两个不同的极值点，，证明：

Answer

（1）a=﹣1，b=1； （2）a≤1；（3）见解析

【解析】试题分析：（1）根据导数的几何意义，可以求出a的值，再根据切点坐标在曲线上和切线上，即可求出b的值，从而得到答案；

（2）将函数f（x）在R上是增函数，转化为f'（x）＞0在R上恒成立，利用参变量分离转化成a＜ex-x在R上恒成立，

利用导数求h（x）=ex-x的最小值，即可求得实数a的取值范围；

（3）根据x1，x2是g（x）的两个极值点，可以得到x1，x2是g′（x）=0的两个根，根据关系，利用分析法，将证明不等式转化为，即求的最小值问题，利用导数即可证得结论．

试题解析：（Ⅰ）∵f（x）=ex﹣x2﹣ax，∴f′（x）=ex﹣x﹣a，

∴根据导数的几何意义可得，切线的斜率k=f'（0）=1﹣a，

∵切线方程为y=2x+b，则k=2，∴1﹣a=2，解得a=﹣1，

∴f（x）=ex﹣x2+x，∴f（0）=1，即切点（0，1），∴1=2×0+b，解得b=1；

（Ⅱ）由题意f'（x）＞0即ex﹣x﹣a≥0恒成立，∴a≤ex﹣x恒成立．

设h（x）=ex﹣x，则h′（x）=ex﹣1．当x变化时，h′（x）、h（x）的变化情况如下表：

x

（﹣∞，0）

0

（0，+∞）

h′（x）

﹣

0

+

h（x）

减函数

极小值

增函数

∴h（x）min=h（0）=1，∴a≤1；

（Ⅲ）∵g（x）=f（x）﹣（a﹣）x2，∴g（x）=ex﹣x2﹣ax﹣ax2+x2

=ex﹣ax2﹣ax，∴g′（x）=ex﹣2ax﹣a，

∵x1，x2是函数g（x）的两个不同极值点（不妨设x1＜x2），

∴ex﹣2ax﹣a=0（*）有两个不同的实数根x1，x2

当时，方程（*）不成立则，令，则

由p′（x）=0得：当x变化时，p（x），p′（x）变化情况如下表：

x

p（x）

﹣

﹣

0

+

p′（x）

单调递减

单调递减

极小值

单调递增

∴当时，方程（*）至多有一解，不合题意；

当时，方程（*）若有两个解，则

所以，

考点：本题考查了利用导数研究在曲线某点处的切线方程，利用导数研究函数的极值，利用导数研究函数的单调性．同时考查了不等式的证明，证明过程中运用了构造函数的思想，是综合性较强的一道导数应用题．属于难题。