Question

如图，在四棱锥中，已知平面，且四边形为直角梯形，．

（1）求平面与平面所成二面角的余弦值；

（2）点是线段上的动点，当直线与所成的角最小时，求线段的长．

Answer

（1）（2）

【解析】

试题分析：以 为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，则各点的坐标为．

（1） 因为平面，所以是平面的一个法向量，．

因为．

设平面的法向量为，则，

即，令，解得．

所以是平面的一个法向量，从而，

所以平面与平面所成二面角的余弦值为．

（2） 因为，设，

又，则，

又，

从而，

设，

则，

当且仅当，即时，的最大值为．

因为在上是减函数，此时直线与所成角取得最小值．

又因为，所以．

考点：二面角的计算，异面直线所成的角，最值问题.

【方法点晴】求二面角常采用求法向量直接公式计算的方法去解决，原则是半平面有现成的垂线就直接做法向量，没有现成的垂线就设法向量，求出法向量后再算二面角；第二步的最值问题很好，是高考很常见的形式，多发生在圆锥曲线题目中，一要会换元，如本题中的设，二要会处理分式如本题中的，当然这一步有时使用均值不等式（或对勾函数），个别题还可使用导数求最值.