Question

4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内．

（1）恰有1个盒不放球，共有几种放法？

（2）恰有1个盒内有2个球，共有几种放法？

（3）恰有2个盒不放球，共有几种放法？

Answer

（1）144（2）144（3）84

【解析】

试题分析：（1）为保证“恰有1个盒不放球”，先从4个盒子中任意取出去一个，问题转化为“4个球，3个盒子，每个盒子都要放入球，共有几种放法？”即把4个球分成2，1，1的三组，然后再从3个盒子中选1个放2个球，其余2个球放在另外2个盒子内，由分步计数原理，共有（种）

（2）“恰有1个盒内有2个球”，即另外3个盒子放2个球，每个盒子至多放1个球，也即另外3个盒子中恰有一个空盒，因此，“恰有1个盒内有2个球”与“恰有1个盒不放球”是同一件事，所以共有144种放法．

（3）确定2 个空盒有种方法．

4个球放进2个盒子可分成两类，第一类有序不均匀分组有种方法；第二类有序均匀分组有种方法，故共有（种）放法．

考点：排列组合问题

【方法点睛】本题涉及均匀分组和不均匀分组，第四步4个不同的球，4个不同的盒子，把球全部放入盒内．要求有2个空盒，先选择两个空盒有种方法．4个球放进其余的2个盒子可分成两类，这时4个球分两组，为不均匀分组有种分组方法，为均匀分组有种分组方法，最后把两组球放入两个不同的盒子有种放法.体现了先组后排原则，这是排列组合常见考题，也是易错题.