Question

数列是由1,2,3，...，2016的一个排列构成的数列，设任意m个相邻项的和构成集合B，即.

（1）若m=8，求B中元素的最大值；

（2）下列两种情况下，集合B能否为单元素集，若能，写出一个对应的数列，若不能，说明理由.

①；

②.

（3）对于数列，若m=8，记B中元素的最大值为S，试求S的最大值.

Answer

（1）；（2）①，②没有这样的数列使集合只有一个元素；（3）.

【解析】

试题分析：（1）由题意等差数列求和即可；（2）①时，可得是定值，②时，若存在一个数列使集合只有一个元素可导出矛盾；（3）任意相邻项的和为，先求出即可.

试题解析：（1）中元素的最大值.

（2）①数列：能使集合只有一个元素，

这时

，所以.

②当时，没有这样的数列使集合只有一个元素.

证明：假设存在一个数列使集合只有一个元素，由题意，数列中的个数分为段，每段和都相等，设和为，则有，

所以，与是整数矛盾，假设不成立.

当时，没有这样的数列使集合只有一个元素.

（3）的最小值为.

由题意，

所以，即.

要求所有中的最小值，我们构造这样的数列

设任意相邻项的和为，则

或

所以，即对这样的数列，，

又因为，所以.

考点：1、等差数列求和及集合的表示；2、元素与集合的关系及数学的划归思想.

【方法点晴】本题主要考查等差数列求和及集合的表示、元素与集合的关系及数学的划归思想，属于难题数学中常见的思想方法有：函数与方程的思想、分类讨论思想、数形结合思想、建模思想等等，做考查转化与划归思想的题型应耐心读题，弄清题设的性质，按题设的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以转化为常见数学知识，这样才能快速找准突破点. 充分利用数学的划归思想方法能够使问题化难为简，并使问题迎刃而解，解答本题的关键是将集合问题转化为数列问题.