Question

如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AD⊥CD，BC=2，AD=CD=1，M是PB的中点.

（1）求证：AM∥平面PCD；

（2）求证：平面ACM⊥平面PAB；

（3）若PC与平面ACM所成角为30°，求PA的长.

Answer

（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）.

【解析】

试题分析：（1）根据中位线定理得且，进而得为平行四边形，得再根据线面平行判定定理可证；（2）平面，平面 ，所以，再由勾股定理，进而得平面，再由面面垂直的判定定理可证；（3）因为两两垂直，如图建立空间直角坐标系，求出平面的法向量和，最后利用空间向量夹角余弦公式求解.

试题解析：（1）证明：取中点，连接，

因为为的中点，为的中点，

所以且，

因为且，

所以且，

所以为平行四边形，所以.

又因为平面平面 ，所以平面.

（2）证明：因为 平面，平面，所以.

因为，所以，

因为中，，，，所以.

因为，所以，所以，

又因为，所以平面，

又因为平面，所以平面平面.

（3）过作，则平面.

因为两两垂直，如图建立空间直角坐标系，

则,设，则，

设平面的法向量为，，，

则即

设，则，，所以，，

设直线与平面所成角为，

则，

解得，所以.

考点：1、线面平行判定定理、线面垂直的判定定理；2、面面垂直的判定定理、空间向量夹角余弦公式.