Question

已知函数，其中.

（1）当时，求在点处的切线方程；

（2）求的单调区间；

（3）当a＞0时，判断函数零点的个数.（只需写出结论）.

Answer

（1）；（2）当时，的增区间为，的减区间为，当时， 的增区间为，当时，的增区间为，，的减区间为，当时，的增区间为，，的减区间为；（3）当时，零点的个数为.

【解析】

试题分析：（1）先求，然后点斜式求解；（2）讨论四种情况，，，分别令得增区间，得减区间；（3）当时，零点的个数为.

试题解析： （1）当时，，，

，所以切线方程为.

（2）的定义域：，

，

令，，

当时，令，得，令，得，

的增区间为，的减区间为.

当时，恒成立，在上单调递增，

当时，，或；，，

所以的增区间为，，的减区间为.

当时，，或，，，

所以的增区间为，，的减区间为.

（3）当时，零点的个数为.

考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、利用导数求曲线的切线方程.