Question

已知函数．

（1）若曲线在点处的切线方程为，求的值；

（2）设函数，其中b为实常数，试讨论函数的零点个数，并证明你的结论．

Answer

（1）；（2）当时，函数的零点个数为，当时，函数的零点个数为，当时，函数的零点个数为，当时，函数的零点个数为，证明见解析.

【解析】

试题分析：（1）已知，先求导得，因为切线过原点，所以，解得：；（2），等价于，即.利用导数，画出图象，由图象可知零点有共种情况，其分类标准就在和极值点处.

试题解析：

（1），因为切线过原点，

所以，解得：

（2），等价于，注意

令，所以

（i）当所以H（x）无零点，即F定义域内无零点。

（ii）当，当x<0时，

因为上单调递增，而

又

又因为，其中，取，

所以，由此

由零点存在定理知，在上存在唯一零点

（2）当时，单调递减；

当时，单调递增。

所以当时，H（x）有极小值也是最小值，。

（1）当

（2）当

（3）当

而

又因为

令，其中

所以，从而，

，

故

综上所述：

考点：1.函数导数；2.零点问题.

【方法点晴】由于函数的解析式是完全知道的，所以第一问可以按照就函数切线方程的步骤来列方程求解.其中关键点有三个，一个是切点，第二个是斜率，第三个是点斜式写出切线方程.研究函数零点的问题，采用分离参数法，会使得解题步骤大大简化.其适用范围是：参数可以单独分离出来，含有未知数的部分可以利用导数画出图象，再结合图象来求解即可.