Question

已知函数．

（Ⅰ）讨论的单调性；

（Ⅱ）当时，若存在区间，使在上的值域是，求的取值范围．

Answer

（Ⅰ）当时，在上为减函数；当时，在上为减函数，在上为增函数．（Ⅱ）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）研究函数的单调性，先求出，然后求得导函数，解不等式得增区间，解不等式得减区间，由于中含参数，因此要对分类讨论，分和两类；（Ⅱ）已知定义域和值域求参数范围，首选由（Ⅰ）知在时，在上是增函数，因此由题设所给定义域和值域知，这说明则在上至少有两个不同的实数根，方程由转化为，这样问题又转化为直线与函数记，，有两个不同的交点，这只要研究的单调性与极值就可得出结论．

试题解析：（Ⅰ）函数的定义域是，，

当时，，所以在上为减函数，

当时，令，则，当时，，为减函数，

当时，，为增函数，

∴当时，在上为减函数；当时，在上为减函数，在上为增函数．

（Ⅱ）当时，，由（Ⅰ）知：在上为增函数，而，∴在上为增函数，结合在上的值域是知：，其中，

则在上至少有两个不同的实数根，

由得，

记，，则，

记，则，

∴在上为增函数，即在上为增函数，

而，∴当时，，当时，，

∴在上为减函数，在上为增函数，

而，，当时，，故结合图像得：

，∴的取值范围是

考点：导数与单调性，函数的综合应用．

【名师点睛】本题是函数的综合应用，通过定义域与值域提出问题，考查转化与思想，通过数学概念的转化，通过数学方法的转化，是我们解决问题的基础．本题中由定义域和值域提出问题是方程则在上至少有两个不同的实数根，方程采用分离参数法转化为，这样问题又转化为直线与函数记， ，有两个不同的交点，最终问题转化为研究函数的的单调性与极值．通过这种不断转化，可使问题逐步明朗，易于求解．这也是在解决综合问题时常用的方法．