Question

己知数列是各项均为正数的等差数列，其中，且，，构成等比数列：数列的前项和为，满足．

（1）求数列，的通项公式；

（2）如果，设数列的前项和为，是否存在正整数，使得成立，若存在，求出的最小值，若不存在，说明理由．

Answer

（1），；（2）．

【解析】

试题分析：（1）数列是等差数列，用公差表示出来后，由已知求得，可得通项公式，数列是已知和与项的关系，可由求得，再写出当时，两式相减后可得的递推式，从而知是等比数列，由此可得通项公式；（2）数列是由等差数列与等比数列相乘所得，其前项和用错位相减法求得，由（2）得出，作差，会发现当时都有，因此结论是肯定的．

试题解析：（1）设数列的公差为，依条件有，即，

解得（舍）或，，由得，

当时，，解得，当时，，

，数列是首项为，公比为的等比数列，故；

（2）由（1）知：， ①，

②，

① —②得

又，，当时，，

当时，，，故所求的正整数存在，其最小值为2．

考点：等差数列与等比数列的通项公式，已知，求通项公式，错位相减法求和．

【名师点睛】1．一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求和法，分别求和后再相加减．

2．用错位相减法求和的注意事项

（1）要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；

（2）在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式．