Question

已知正项等比数列的前项和为，且.

（1）求数列的通项公式与前项和为；

（2）若数列的通项公式为，

（ⅰ）求数列的前项和为；

（ⅱ）探究：数列是否有最小项？若没有，请通过计算得到最小项的项数；若没有，请说明理由.

Answer

（1），.（2）（ⅰ）（ⅱ）第2项

【解析】

试题分析：（1）由等比数列前n项和公式得，由通项公式得，所以，.（2）（ⅰ），所以运用错位相减法求和：先错位相减，再对右边求和，即得（ⅱ）研究数列单调性：，所以，从而数列有最小项，最小项是第2项.

试题解析：（1）显然数列的公比不为1，故，

解得（舍去），所以，故，.

（2）（ⅰ）依题意，，

，

，

两式相减，，

故，即.

（ⅱ）法一：假设数列中第k项最小，则，

即，

解得，因为，故，

则数列有最小项，最小项是第2项.

法二：由（ⅰ）知，，且，则当时，，当时，，

当时，，又，

所以数列有最小项，最小项是第2项.

考点：等比数列通项，错位相减求和，数列单调性

【方法点睛】解决数列的单调性问题可用以下三种方法

①用作差比较法，根据的符号判断数列是递增数列、递减数列或是常数列。

②用作商比较法，根据与1的大小关系及符号进行判断。

③结合相应函数的图像直观判断，注意自变量取值为正整数这一特殊条件