Question

选修4－5：不等式选讲．

设函数f（x）＝|2x－a|＋a.

（1）若不等式f（x）≤6的解集为{x|－2≤x≤3}，求实数a的值；

（2）在（1）的条件下，若存在实数n，使得f（n）≤m－f（－n）恒成立，求实数m的取值范围.

Answer

（1）１；（2）m≥4.

【解析】

试题分析：（1）由绝对值的性质：可求得题中不等式的解集，与已知比较可得值；（2）“存在实数n，使得f（n）≤m－f（－n）恒成立”，即等价于“存在实数n，使得m≥f（n）＋f（－n）＝|1－2n|＋|1＋2n|＋2恒成立”，由绝对值不等式的性质（绝对值三角不等式）可得|1－2n|＋|1＋2n|的最小值，从而得范围．

试题解析：（1）由f（x）≤6，得a－6≤2x－a≤6－a（a＜6），即其解集为{x|a－3≤x≤3}，由题意知f（x）≤6的解集为{x|－2≤x≤3}，所以a＝1.

（2）原不等式等价于m≥f（n）＋f（－n），存在实数n，使得m≥f（n）＋f（－n）＝|1－2n|＋|1＋2n|＋2恒成立，即m≥（|1－2n|＋|1＋2n|＋2）min，而由绝对值三角不等式，|1－2n|＋|1＋2n|≥2，

从而实数m≥4.

考点：解绝对值不等式，绝对值不等式恒成立，绝对值的性质．