Question

已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的离心率为，以原点O为圆心，椭圆C的长半轴为半径的圆与直线2x－y＋6＝0相切．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）已知点A，B为动直线y＝k（x－2）（k≠0）与椭圆C的两个交点，问：在x轴上是否存在点E，使²＋·为定值？若存在，试求出点E的坐标和定值，若不存在，说明理由．

Answer

（1）；（2）存在，定点为E．

【解析】

试题分析：（1）要求椭圆标准方程，一般要列出关于的两个等式，题中离心率是一个，即，另外由直线与圆相切知原点到直线的距离就等于，因此易得；（2）直线与椭圆相交，设交点为，把直线方程代入椭圆方程后可得，同时假设定点存在，并设，计算，把它表示为的等式，此式是关于的恒等式，由此可求得．

试题解析：（1）由e＝，得＝，即c＝a， ①

又因为以原点O为圆心，

椭圆C的长半轴长为半径的圆为x2＋y2＝a2，

且与直线2x－y＋6＝0相切，

所以a＝＝，代入①得c＝2，

所以b2＝a2－c2＝2.所以椭圆的方程为＋＝1.

（2）由得（1＋3k2）x2－12k2x＋12k2－6＝0，

设A（x1，y1），B（x2，y2），所以x1＋x2＝，x1·x2＝，

根据题意，假设x轴上存在定点E（m，0），使得

2＋·＝·（＋）＝·为定值，

则有·＝（x1－m，y1）·（x2－m，y2）＝（x1－m）·（x2－m）＋y1y2

＝（x1－m）（x2－m）＋k2（x1－2）（x2－2）＝（k2＋1）x1x2－（2k2＋m）（x1＋x2）＋（4k2＋m2）

＝（k2＋1）·－（2k2＋m）·＋（4k2＋m2）

＝.

要使上式为定值，即与k无关，则应使3m2－12m＋10＝3（m2－6），

即m＝，此时·＝m2－6＝－为定值，定点为E.

考点：椭圆标准方程，直线与椭圆相交，解析几何中的定点问题．

【名师点睛】解决存在性问题应注意以下几点

存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在．

（1）当条件和结论不唯一时要分类讨论；

（2）当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；

（3）当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要思维开放，采取另外的途径．