Question

如图，已知AB⊥平面ACD，DE∥AB，△ACD是正三角形，AD＝DE＝2AB，且F是CD的中点．

（1）求证：AF∥平面BCE；

（2）求证：平面BCE⊥平面CDE；

（3）求平面BCE与平面ACD所成锐二面角的大小．

Answer

（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）45°．

【解析】

试题分析：（1）要证明线面平行，就要证线线平行，要在平面内找一条平行线，考虑到是中点，因此取中点，由已知可证得，从而证得平行四边形，即得平行线，得线面平行；（2）由已知，利用平面，又可证得，从而有平面，因此可得平面，这样证明面面垂直的需要的线面垂直就有了；（3）要求二面角，可以AF，FD，FP所在的直线分别为x，y，z轴（如图）建立空间直角坐标系，写出各点坐标，并求得平面和平面的法向量，由法向量的平角求得二面角．

试题解析：（1）取CE的中点P，连结FP、BP.

∵F为CD的中点，∴FP∥DE，且FP＝DE.

又AB∥DE，且AB＝DE，∴AB∥FP，且AB＝FP，

∴四边形ABPF为平行四边形，∴AF∥BP.

又∵AF平面BCE，BP平面BCE，

∴AF∥平面BCE.

（2）∵△ACD为正三角形，∴AF⊥CD.

∵AB⊥平面ACD，DE∥AB，

∴DE⊥平面ACD，又AF平面ACD，∴DE⊥AF.

又AF⊥CD，CD∩DE＝D，

∴AF⊥平面CDE.又BP∥AF，∴BP⊥平面CDE.

又∵BP平面BCE，∴平面BCE⊥平面CDE.

（3）法一：由（2），以F为坐标原点，

AF，FD，FP所在的直线分别为x，y，z轴（如图）

建立空间直角坐标系F－xyz.设AC＝2，

则C（0，－1，0），B（－，0，1），E（0，1，2）．

设n＝（x，y，z）为平面BCE的法向量，

∴n·＝0，n·＝0，∴，令z＝1，则n＝（0，－1，1）

显然，m＝（0，0，1）为平面ACD的法向量．

设面BCE与面ACD所成锐二面角为α，

则cos α＝＝＝.∴α＝45°.

即平面BCE与平面ACD所成锐二面角的大小为45°.

法二：延长EB、DA，设EB、DA交于一点O，连结CO.

则面EBC∩面DAC＝CO.

由AB是△EDO的中位线，则DO＝2AD.

在△OCD中，∵OD＝2AD＝2AC，∠ODC＝60°.

∴OC⊥CD，又OC⊥DE.

∴OC⊥面ECD，而CE面ECD，

∴OC⊥CE，∴∠ECD为所求二面角的平面角，

在Rt△EDC中，∵ED＝CD，∴∠ECD＝45°，

即平面BCE与平面ACD所成锐二面角为45°.

考点：线面平行的判断，面面垂直的判断，二面角．