Question

选修4－1：几何证明选讲.

如图，AB是圆O的一条弦，过点A作圆的切线AC，作BC⊥AC，与该圆交于点D，若AC＝2，CD＝2.

（1）求圆O的半径；

（2）若点E为AB中点，求证：O，E，D三点共线.

Answer

（1）4；（2）证明见解析．

【解析】

试题分析：（1）从题中看AC的长就是圆心到弦BD的距离，只要求得弦长BD，由勾股定理可得圆半径，而弦长BD，可通过切割线定理求得；（2）要证O，E，D三点共线，方法较多，由于E是OD的中点，可证明是平行四边形（这由与平行且相等可证），可证是弧中点（求得即可）．

试题解析：（1）取BD中点为F，连结OF，由题意知，OF//AC，OF＝AC.

∵AC为圆O的切线，BC为割线，

∴CA2＝CD·CB，∵AC＝2，CD＝2，∴BC＝6，BD＝4，BF＝2.

在Rt△OBF中，由勾股定理得，r＝OB＝覆盖版本情况如下：＝4.

（2）由（1）知，OA//BD，OA＝BD，

所以四边形OADB为平行四边形，又因为E为AB的中点，

所以OD与AB交于点E，所以O，E，D三点共线．

考点：切割线定理，勾股定理，三点共线．