Question

选修4－1：几何证明选讲

如图，C、D是以AB为直径的半圆上两点，且＝.

（1）若CD∥AB.证明：直线AC平分∠DAB；

（2）作DE⊥AB交AC于E.证明：CD²＝AE·AC.

Answer

证明见解析．

【解析】

试题分析：（1）要证AC平分∠DAB，只要证，由于，因此只要证三等分半圆弧，这由已知易得；（2）要证，由（1）只要证，实际上由圆周角定理，可得，三角形相似即得．

试题解析：（1）由题设CD∥AB可知，∠DCA＝∠BAC，

因为＝，所以∠DAC＝∠DCA，

从而∠DAC＝∠BAC，因此，AC平分∠DAB.

（2）由DE⊥AB知，∠ADE＋∠DAB＝90°，

因为AB为直径，所以∠DBA＋∠DAB＝90°，

从而∠ADE＝∠ABD，又因为∠ABD＝∠DCA，

所以∠ADE＝∠ACD.

因此△ADE∽△ACD，

所以AD2＝AE·AC，而AD＝DC.

所以CD2＝AE·AC.

考点：圆周角定理，相似三角形的证明与性质．