Question

如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝1，M是线段EF的中点．

（1）求证：AM∥平面BDE；

（2）求二面角A－DF－B的大小；

（3）试在线段AC上确定一点P，使得PF与BC所成的角是60°.

Answer

（1）见解析；（2）60°；（3）点P是AC的中点．

【解析】

试题分析：（1）要证线面平行，只要证线线平行，设交点为，为中点，由为中点，可得（中点连线是经常用到的辅助线），从而得证线面平行；（2）由已知可以证明CD、CB、CE两两垂直，因此以它们所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，写出各点坐标，＝（－，0，0）为平面ADF的一个法向量．再求得平面的一个法向量，求得法向量的夹角即得二面角（它们相等或互补）；（3）在（2）基础上，可设可设P（t, t, 0） （0≤t≤），则由与的夹角的为或可求得，从而得点位置．

试题解析：（1）记AC与BD的交点为O，连接OE，

∵O、M分别是AC、EF的中点，ACEF是矩形，

∴四边形AOEM是平行四边形，

∴AM∥OE

∵OE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE，

∴AM∥平面BDE

（2）在平面AFD中过A作AS⊥DF于S，连接BS，

∵AB⊥AF，AB⊥AD，AD∩AF=A，

∴AB⊥平面ADF，

∴AS是BS在平面ADF上的射影，

由三垂线定理得BS⊥DF

∴∠BSA是二面角A﹣DF﹣B的平面角

在Rt△ASB中，AS==，AB=，

∴tan∠ASB=，∠ASB=60°，

∴二面角A﹣DF﹣B的大小为60°；

（3）如图设P（t，t，0）（0≤t≤），

则=（﹣t，﹣t，1），=（，0，0）

又∵，夹角为60°，∴，

解之得t=或t=（舍去），

故点P为AC的中点时满足题意．

考点：线面平行的判断，二面角，异面直线所成的角．