Question

空气质量指数（Air Quality Index，简称AQI）是定量描述空气质量状况的指数， 空气质量按照AQI大小分为六级：0～50为优；51～100为良；101～150为轻度污染；151～200为中度污染；201～300为重度污染；＞300为严重污染．

一环保人士记录去年某地某月10天的AQI的茎叶图如下．

（1）利用该样本估计该地本月空气质量优良（AQI≤100）的天数；（按这个月总共30天计算）

（2）将频率视为概率，从本月中随机抽取3天，记空气质量优良的天数为ξ，求ξ的概率分布列和数学期望．

Answer

（1）18；（2）分布列见解析，期望为1.8

【解析】

试题分析：（1）从茎叶图知10天中有6天空气质量优良，因此样本中空气质量优良频率为，这个也是总体频率，由此可估计出本月空气优良天数；（2）由（1）估计某天空气质量优良的概率为，ξ的所有可能取值为0，1，2，3，且ξ～B，由此可计算出各概率，得分布列，并能计算出数学期望．

试题解析：（1）从茎叶图中可发现该样本中空气质量优的天数为2，空气质量良的天数为4，故该样本中空气质量优良的频率为＝，估计该月空气质量优良的频率为，从而估计该月空气质量优良的天数为30×＝18.

（2）由（1）估计某天空气质量优良的概率为，

ξ的所有可能取值为0，1，2，3.

P（ξ＝0）＝＝，P（ξ＝1）＝C＝，

P（ξ＝2）＝C＝，

P（ξ＝3）＝＝，

故ξ的分布列为：

ξ

0

1

2

3

P

显然ξ～B，Eξ＝3×＝1.8．

考点：茎叶图，用样本数据估计总体数据，随机变量概率分布列，数学期望．