Question

已知椭圆C₁：＋＝1 （a＞b＞0）的离心率为，P（－2，1）是C₁上一点．

（1）求椭圆C₁的方程；

（2）设A、B、Q是点P分别关于x轴、y轴及坐标原点的对称点，平行于AB的直线l与C₁相交于不同于P、Q的两点C、D.点C关于原点的对称点为E．证明：直线PD、PE与y轴围成的三角形是等腰三角形．

Answer

（1）；（2）证明见解析．

【解析】

试题分析：（1）本小题要求椭圆标准方程，由离心率可得，再把点坐标代入又得的一个方程，两者联立可解得；（2）设直线PD、PE的斜率分别为，则要证直线PD、PE与y轴围成的三角形是等腰三角形，只需证，为此先得，从而有，于是可设直线方程为，同时设，由直线方程与椭圆方程可得，计算，可得结论．

试题解析：（1）因为C1离心率为，所以a2＝4b2，

从而C1的方程为：＋＝1 .代入P（－2，1）

解得：b2＝2，因此a2＝8.

所以椭圆C1的方程为：＋＝1 .

（2）由题设知A、B的坐标分别为（－2，－1），（2，1）．

因此直线l的斜率为.

设直线l的方程为：y＝x＋t.

由得：x2＋2tx＋2t2－4＝0.

当Δ＞0时，不妨设C（x1，y1），D（x2，y2），

于是 x1＋x2＝－2t，x1x2＝2t2－4.

设直线PD、PE的斜率分别为k1，k2，则要证直线PD、PE与y轴围成的三角形是等腰三角形，只需证k1＋k2＝0，

又k1＋k2＝＋＝，

则只需证（y2－1）（2－x1）－（2＋x2）（y1＋1）＝0，

而（y2－1）（2－x1）－（2＋x2）（y1＋1）

＝2（y2－y1）－（x1y2＋x2y1）＋x1－x2－4

＝x2－x1－x1x2－t（x1＋x2）＋x1－x2－4

＝－x1x2－t（x1＋x2）－4

＝－2t2＋4＋2t2－4

＝0

所以直线PD、PE与y轴围成的三角形是等腰三角形．

考点：椭圆的标准方程，直线与椭圆的综合问题．

【名师点睛】解析几何中的直线与曲线相交的综合性问题，可设出直线方程，同时设交点坐标为，由直线方程与椭圆方程可得，然后计算相关量，象本题计算，并把用表示出来，把刚才所得代入可得结论．