Question

已知函数.

（1）若直线与在处的切线平行，求，并讨论在上的单调性；

（2）若对任意，都有，求的取值范围.

Answer

（1），单调递增；（2）.

【解析】

试题分析：（1），；，，根据切线相互平行，有.，由和的图象可知在区间上，故函数单调递增；（2）依题意，令，，令，，所以在上单调递增，，对进行分类讨论后可得.

试题解析：

（1）由，知，曲线在处的切线斜率为.

由知，曲线在处的切线为，

因为曲线与在处的切线相互平行，

所以，，当时，.

当时，，从而；

当时，，，从而，

故在上单调递增.

（2）记，原问题即求的取值范围，

使对恒成立，，

又记，则当时，，

所以在上单调递增，从而，即.

①若，则，从而在上单调递增，

所以.此时，不等式成立.

②若，则，从而在上单调递减，

所以.此时，不等式不恒成立.

③若，则存在唯一的，使得，即，

因为，所以且，

从而

，

又因为，所以，

从而，

得又，

所以，不等式不恒成立.

综上，当且仅当时，对任意，都有.

考点：函数导数与不等式.

【方法点晴】直线与在处的切线平行，也即是它们在处的导数相等，由此建立方程，就能求出.利用导数求函数的单调性，当导函数含有参数时，要对参数进行分类讨论.分类讨论一般根据开口方向、对称轴、定义域进行分类.利用导数证明恒成立问题，可以进行分类常数或者直接讨论.本题还需要求二阶导数.