Question

已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上，椭圆上、下顶点与焦点所组成的四边形为正方形，四个顶点围成的图形面积为.

（1）求椭圆的方程；

（2）直线过点且与椭圆相交于、两点，当面积取得最大值时，求直线的方程.

Answer

（1）；（2）.

【解析】

试题分析：（1）依题意有，且，结合，，解得，所以椭圆方程为；（2）直线的方程为，联立直线的方程和椭圆的方程，得，利用弦长公式计算，利用点到直线距离公式计算，所以，利用换元法可求得当时，面积取得最大值为，所求直线方程为.

试题解析：

设椭圆方程为.（1）由已知得，且，又由，

解得，

所以椭圆方程为.

（2）由题意知直线的斜率存在，

设直线的方程为，

由，消去得关于的方程：，

由直线与椭圆相交于、两点，

，解得，

又由韦达定理得，

.

原点到直线的距离，

所以，

令，则，

，

当且仅当，即时，，

此时，所以，所求直线方程为.

考点：直线与圆锥曲线位置关系.

【方法点晴】直线与圆锥曲线位置关系的判断、有关圆锥曲线弦的问题等能很好地渗透对函数方程思想和数形结合思想的考查，一直是高考考查的重点，特别是焦点弦和中点弦等问题，涉及中点公式、根与系数的关系以及设而不求、整体代入的技巧和方法，也是考查数学思想方法的热点题型．涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系、设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解．