Question

选修4-1：几何证明选讲

已知是的直径，是圆O的切线，为切点，与圆O交于点，的中点为．

（1）求证：四点共圆；

（2）求证：．

Answer

（1）详见解析（2）详见解析

【解析】

试题分析：（1）证明四点共圆，一般利用对角和互补，而，所以只需证明，利用直角三角形斜边上中线等于斜边一半得，从而两三角形三边对应相等，即两三角形全等，即得（2）证明线段成比例，一般利用三角形相似：∽得，再结合切割线定理得结论

试题解析：（1）

连接，

∵为圆O的直径，可得，

在中，，

∴，

∵，∴，可知，

即，所四点是共圆的．

（2）∵∽，∴，又因为为圆的切线，由切割线的定理可知，即，代入可得．

考点：四点共圆，三角形相似，切割线定理

【名师点睛】1.解决与圆有关的成比例线段问题的两种思路

（1）直接应用相交弦、切割线定理及其推论；（2）当比例式（等积式）中的线段分别在两个三角形中时，可转化为证明三角形相似，一般思路为“相似三角形→比例式→等积式”．在证明中有时还要借助中间比来代换，解题时应灵活把握．

2．应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等．