Question

已知中，，将沿折起，使 变到，使平面平面．

（1）试在线段上确定一点，使平面；

（2）试求三棱锥的外接球的半径与三棱锥的表面积．

Answer

（1）点为的靠近点的三等分点（2）

【解析】

试题分析：（1）要平面，则由线面平行性质定理知过的平面与平面的交线必平行,由于，,所以只需取的三等分点（靠近点），使得,再在上取点，使，，且，所以四边形为平行四边形，（2）三棱锥可看做一个长方体的截面，所以其外接球半径满足，其四个表面皆为直角三角形，易求表面积

试题解析：（1）

∵，

∴，在上取点，使，连接，再在上取点，使，连接，可知，，且，可知，且，所以四边形为平行四边形，平面，∴平面，故点为的靠近点的三等分点．

（2）由（1）可知，，

设三棱锥的外接球半径为，可知，，∴．

三棱锥的表面积为

．

考点：线面平行性质定理及判定定理，三棱锥外接球

【思想点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.

（1）证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.

（2）证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.

（3）证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.