Question

已知函数.

（1）当函数在点处的切线方程为，求函数的解析式；

（2）当时，函数在上单调递减，试求的取值范围；

（3）在（1）的条件下，若是函数的零点，且，求的值．

Answer

（1）（2）（3）

【解析】

试题分析：（1）（1）由导数几何意义得，解方程组得，即（2）先利用导数转化函数单调性为：导函数恒非正，即在上恒非正，利用二次函数实根分布或变量分离求最值的方法，皆易得的取值范围（3）先利用导数研究函数单调性变化规律，确定零点所在区间：当时，，单调递减，

当时，，函数单调递增，而，不符合要求，所以，又，所以

试题解析：（1），所以，

∴函数的解析式为；

（2）当时，，

只考虑分子即可，设，可知，

故的取值范围为．

（3），

因为函数的定义域为，，

当时，，单调递减，

当时，，函数单调递增，且函数至少有两个零点，其中，不符合要求，，

，∴，故．

考点：导数几何意义，利用导数研究函数单调性，构造函数证明不等式

【思路点睛】涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路.