Question

已知函数.

（1）当函数在点处的切线方程为，求函数的解析式；

（2）在（1）的条件下，若是函数的零点，且，求的值；

（3）当时，函数有两个零点，且，求证：．

Answer

（1）（2）（3）详见解析

【解析】

试题分析：（1）由导数几何意义得，解方程组得，即（2）先利用导数研究函数单调性变化规律，确定零点所在区间：当时，，单调递减，

当时，，函数单调递增，而，不符合要求，所以，又，所以（3）因为，所以利用解得，从而，这样设只需研究函数符号，利用导数易得

试题解析：（1），所以，

∴函数的解析式为；

（2），

因为函数的定义域为，

令，

当时，，单调递减，

当时，，函数单调递增，

且函数的定义域为，

令，

且时，单调递减，

当时，，单调递增，

且函数至少有1个零点，而，不符合要求，

，

∴，故．

（3）当时，函数，

，两式相减可得

．

，因为，

所以

设，

∴，

所以在上为增函数，且，

∴，又，所以．

考点：导数几何意义，零点存在定理，构造函数证明不等式

【思路点睛】涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路.