Question

已知椭圆的离心率为，右焦点到直线的距离为．

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线经过椭圆的右焦点，且与抛物线交于两点，与椭圆交于两点，当以为直径的圆经过椭圆的左焦点时，求以为直径的圆的标准方程．

Answer

（1）（2）或

【解析】

试题分析：（1）求椭圆方法，一般方法为待定系数法，即根据条件列两个方程：一个离心率定义，另一个点到直线距离公式，解方程组即可（2）研究直线与椭圆位置关系，一般方法为联立方程组，利用韦达定理求解，而以为直径的圆经过椭圆的左焦点，一般转化为对应向量数量积为零：，再转化为坐标：，即，最后利用韦达定理代入化简得，同样利用抛物线定义及韦达定理求中点即圆心，及长即直径

试题解析：（1）的离心率，右焦点，

由已知条件可得

，可得，∴，

∴椭圆的方程为．

（2）当直线与轴垂直时，，又，此时，所以以为直径的圆不经过，不满足条件，当直线不与轴垂直时，设，

由，得，

因为焦点在椭圆内部，所以直线与椭圆恒有两个交点．

设，则，

因为以为直径的圆经过，所以，

又，所以，

即，

将及的值代入解得．

由得，

因为直线与抛物线有两个交点，所以，

设，则，

所以，

设的中点为，

所求的圆的标准方程为或．

考点：椭圆方程，直线与椭圆位置关系，直线与抛物线位置关系