Question

如图，是边长为3的正方形，，且.

（1）试在线段上确定一点的位置，使得；

（2）求二面角的余弦值．

Answer

（1）为的一个三等分点（靠近点）；（2）

【解析】

试题分析：（1）要，则由线面平行性质定理知过AM的平面与的交线必平行,由于，所以只需取的三等分点（靠近点），使得,再在上进行平移得取的三等分点（靠近点），即得，且，所以四边形为平行四边形，（2）求二面角，一般利用空间向量进行求解，先建立空间直角坐标系，设立点坐标，利用方程组解面的法向量，利用向量数量积解向量夹角，最后根据二面角与向量夹角之间关系得结果

试题解析：（1）

取的三等分点（靠近点），则有，过作交于，由平面，，可知平面，∴，∴，且，所以四边形为平行四边形，可知，∵，

∴为的一个三等分点（靠近点）；

（2）如图建立空间直角坐标系：

则，

，

设平面的法向量为，

由，可得．

平面的法向量为，

由可得，

因为二面角为钝二面角，可得

，

所以二面角的余弦值为．

考点：线面平行性质定理及判定定理，利用空间向量求二面角

【思想点睛】垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.

（1）证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.

（2）证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.

（3）证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.