Question

博鳌亚洲论坛2015年会员大会于3月27日在海南博鳌举办，大会组织者对招募的100名服务志愿者培训后，组织一次 知识竞赛，将所得成绩制成如右频率分布直方图（假定每个分数段内的成绩均匀分布），组织者计划对成绩前20名的参赛者进行奖励．

（1）试确定受奖励的分数线；

（2）从受奖励的20人中选3人在主会场服务，记3人中成绩在90分以上的人数为，求的分布列与数学期望．

Answer

（1）86．（2）

【解析】

试题分析：（1）由频率分布直方图知，小长方体面积为对应概率，因此竞赛成绩在分的人数为，不足20，故受奖励分数线在之间，设受奖励分数线为，（2）先确定随机变量取法：0，1，2，再分别求对应概率，利用组合数分组求概率，列表得概率分布，最后根据公式求数学期望

试题解析：（1）由频率分布直方图知，竞赛成绩在分的人数为，竞赛成绩在的人数为，故受奖励分数线在之间，设受奖励分数线为，则，解得，故受奖励分数线为86．

（2）由（1）知，受奖励的20人中，分数在的人数为8，分数在的人数为12，故从受奖励的20人中选3人在主会场服务，3人中成绩在90分以上的人数的可能取值为0，1，2，3，

故，

的分布列为

0

1

2

3

考点：频率分布直方图，概率分布及数学期望

【方法点睛】求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：

第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；

第二步是“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式（常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等），求出随机变量取每个值时的概率；

第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；

第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值，对于有些实际问题中的随机变量，如果能够断定它服从某常见的典型分布（如二项分布X～B（n，p）），则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式（E（X）＝np）求得.因此，应熟记常见的典型分布的期望公式，可加快解题速度.