Question

选修4-1：平面几何选讲

如图，，分别为边，的中点，直线交的外接圆于点，且．

（Ⅰ）证明： ；

（Ⅱ）过点作圆的切线交的延长线于点，若，，求的长．

Answer

（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析

【解析】

试题分析：（Ⅰ）因为D，E分别为AB，AC的中点，所以DE∥BC.又已知CF∥AB，故四边形BCFD是平行四边形，所以CF＝BD＝AD，而CF∥AD，连结AF，所以四边形ADCF是平行四边形，故CD＝AF.因为CF∥AB，所以BC＝AF，即可证明结果.（Ⅱ）因为是圆的切线，所以，又因为，所以，所以，因为A，B，C，F四点共圆，所以，所以∽，所以，因为，，又由（Ⅰ）知，，可得，因为是圆的切线，所以根据切割线定理可得：，即可求出结果.

试题解析：【解析】
（Ⅰ）因为D，E分别为AB，AC的中点，所以DE∥BC.

又已知CF∥AB，故四边形BCFD是平行四边形，所以CF＝BD＝AD

而CF∥AD，连结AF，所以四边形ADCF是平行四边形，故CD＝AF.

因为CF∥AB，所以BC＝AF，

所以CD＝BC. 5分

（Ⅱ）因为是圆的切线，

所以，

又因为，所以，

所以，

因为A，B，C，F四点共圆，

所以，

所以∽，

所以，

因为，，

又由（Ⅰ）知，，

所以，所以，

因为是圆的切线，

所以根据切割线定理可得：，

所以． 10分.

考点：与圆有关的线段问题.

【一题多解】（Ⅰ）同解法一． （Ⅱ）因为是圆的切线，所以，又因为，所以，

所以，因为A，B，C，F四点共圆，所以，所以∽，所以，过点C作CMAB于M，由（Ⅰ）知：，所以M是BD中点，又因为所以，由（Ⅰ）知：，所以，，所以，所以，所以．