Question

已知，函数，曲线与轴相切．

（Ⅰ）求的单调区间；

（Ⅱ）是否存在实数使得恒成立？若存在，求实数的值；若不存在，说明理由．

Answer

（Ⅰ）在上单调递增，在上单调递减．；（Ⅱ）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）设切点为，，依题意解得 所以，，即可求出结果．（Ⅱ） 等价于或令，，

则，，然后再对进行分类讨论，即可求出结果.

试题解析：【解析】
（Ⅰ）设切点为，，

依题意即

解得 3分

所以，．

当变化时，与的变化情况如下表：

所以在上单调递增，在上单调递减． 5分

（Ⅱ）存在，理由如下： 6分

等价于或

令，，

则，，

①若，

当时，，，所以；

当时，，，所以，

所以在单调递减区间为，单调递增为，

又，所以，当且仅当时，，

从而在上单调递增，又，

所以或即成立． 9分

②若，因为，

，

所以存在，使得，因为在单调递增，

所以当时，，在上递增，

又，所以当时，，

从而在上递减，又，所以当时，，

此时不恒成立； 11分

③若，同理可得不恒成立．

综上所述，存在实数． 12分.

考点：1.导数在函数单调性中的应用；2.分类讨论.