Question

、分别是椭圆：的左、右焦点，为坐标原点，是上任意一点，是线段的中点．已知的周长为，面积的最大值为．

（Ⅰ）求的标准方程；

（Ⅱ）过作直线交于两点，，以为邻边作平行四边形，求四边形面积的取值范围．

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）连接，由椭圆定义知，

是线段的中点，是线段的中点，，

周长为，可得，……①又 面积，可得，……②，由即可求出椭圆方程；（Ⅱ）设，，显然直线的斜率不能为0，故设直线的方程为，代入椭圆方程，整理得，， ， ， 9分

设，则，，然后再利用基本不等式即可求出结果.

试题解析：【解析】
（Ⅰ）连接，由椭圆定义知，

是线段的中点，是线段的中点，，

周长为，

即，……① 2分

又 面积，所以当时，最大，

所以，……② 4分

由解得，所以的标准方程为．

（Ⅱ）设，，显然直线的斜率不能为0，故设直线的方程为，代入椭圆方程，整理得，，

，

，

设，则，，

因为，所以，当且仅当时，等号成立，

所以，

，

四边形面积的取值范围．

考点：1.椭圆方程；2.直线与椭圆的位置关系.