Question

已知函数．

（1）若关于的方程只有一个实数解，求实数的取值范围；

（2）若当时，不等式恒成立，求实数的取值范围；

（3）求函数在区间上的最大值（直接写出结果，不需给出演算步骤）．

Answer

（1）；（2）（3）当时，最大值为；当时，最大值为；当时，最大值为0.

【解析】

试题分析：（1）关于x的方程只有一个实数解等价于只有一个解，等价于有且仅有一个等于1的解或无解，进行判断从而得出参数的取值范围.（2）根据自变量的取值范围进行分类讨论求参数的取值范围，这里必须注意此分类讨论是根据自变量进行分类的，故求得的参数取值范围必须与自变量范围取交集.（3）将所给的函数写成分段函数形式，在每一段上对函数的最值进行讨论，求出最大值再比较两段上的最值得到函数的最大值，由于参数的影响，函数的单调性不确定，所以可以根据需要分成三段讨论.

试题解析：（1）方程，即，变形得，

显然，已是该方程的根，从而欲原方程只有一解，即要求方程，

有且仅有一个等于1的解或无解 ，结合图形得.

（2）不等式对恒成立，即（*）对恒成立，

①当时，（*）显然成立，此时；

②当时，（*）可变形为，令

因为当时，，当时，，

所以，故此时.

综合①②，得所求实数的取值范围是.

（3）因为=10分

① 当时，结合图形可知在上递减，在上递增，

且，经比较，此时在上的最大值为.

② 当时，结合图形可知在，上递减，

在，上递增，且，，

经比较，知此时在上的最大值为.

③ 当时，结合图形可知在，上递减，

在，上递增，且，，

经比较，知此时 在上的最大值为.

④ 当时，结合图形可知在，上递减，

在，上递增，且, ，

经比较，知此时 在上的最大值为.

当时，结合图形可知在上递减，在上递增，

故此时 在上的最大值为.

综上所述，当时，在上的最大值为；

当时， 在上的最大值为；

当时， 在上的最大值为0.

考点：1、恒成立问题；2、分段函数．

【思路点晴】本题主要考查的是带有绝对值符合的方程解法、含参量不等式的恒成立问题以及含参量分段函数的最值问题，属于难题.在（2）中，求解关于含参量不等式的恒成立问题用到的方法是分离参数法.（3）带有绝对值符号的函数可转化为分段函数处理，求函数最值就是要讨论函数的单调性，中每段都是二次函数形式，所以要从讨论对称轴的位置入手进行分类讨论.