Question

f（x）的定义域为（0，＋∞），且对一切x＞0，y＞0都有f＝f（x）－f（y），当x＞1时，有f（x）＞0.

（1）求f（1）的值；（2）判断f（x）的单调性并证明；

（3）若f（6）＝1，解不等式.

Answer

（1）0；（2）证明见解析；（3）0＜x＜4．

【解析】

试题分析：（1）应用已知不等式，令则 （2）应用单调性的定义判断.（3）对于解析式不清楚的抽象函数，当单调递增时当单调递减时

试题解析：（1）f（1）＝f＝f（x）－f（x）＝0，x＞0.

（2）f（x）在（0，＋∞）上是增函数．

证明：设0＜x1＜x2，则由f＝f（x）－f（y），得

f（x2）－f（x1）＝f，∵＞1，∴f＞0.

∴f（x2）－f（x1）＞0，即f（x）在（0，＋∞）上是增函数．

（3）∵f（6）＝f ＝ f（36）－f（6），又 f（6）＝1，

∴f（36）＝2，原不等式化为：f（x2＋5x）＜f（36），

又∵ f（x）在（0，＋∞）上是增函数，

∴ 解得0＜x＜4.

考点：1、函数的单调性；2、函数单调性的应用．