Question

如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线l：xy2=0，抛物线C：y²=2px（p＞0）.

（1）若直线l过抛物线C的焦点，求抛物线C的方程；

（2）已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和Q.

①求证：线段PQ的中点坐标为；

②求p的取值范围.

Answer

（1）（2）①详见解析，②

【解析】

试题分析：（1）先确定抛物线焦点，再将点代入直线方程；（2）①利用抛物线点之间关系进行化简，结合中点坐标公式求证，②利用直线与抛物线位置关系确定数量关系：，解出p的取值范围.

试题解析：【解析】
（1）抛物线的焦点为

由点在直线上，得，即

所以抛物线C的方程为

（2）设，线段PQ的中点

因为点P和Q关于直线对称，所以直线垂直平分线段PQ，

于是直线PQ的斜率为，则可设其方程为

①由消去得

因为P 和Q是抛物线C上的相异两点，所以

从而，化简得.

方程（*）的两根为，从而

因为在直线上，所以

因此，线段PQ的中点坐标为

②因为在直线上

所以，即

由①知，于是，所以

因此的取值范围为

【考点】直线与抛物线位置关系

【名师点睛】在利用代数法解决范围问题时常从以下五个方面考虑：（1）利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；（2）利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；（3）利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；（4）利用基本不等式求出参数的取值范围；（5）利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．