Question

记.对数列和的子集，若，定义；若，定义.例如：时，.现设是公比为3的等比数列，且当时，.

（1）求数列的通项公式；

（2）对任意正整数，若，求证：；

（3）设，求证：.

Answer

（1）（2）详见解析（3）详见解析

【解析】

试题分析：（1）根据及时定义，列出等量关系，解出首项，写出通项公式；（2）根据子集关系，进行放缩，转化为等比数列求和；（3）利用等比数列和与项的大小关系，确定所定义和的大小关系：设，则因此由，因此中最大项必在A中，由（2）得.

试题解析：（1）由已知得.

于是当时，.

又，故，即.

所以数列的通项公式为.

（2）因为，，

所以.

因此，.

（3）下面分三种情况证明.

①若是的子集，则.

②若是的子集，则.

③若不是的子集，且不是的子集.

令，则，，.

于是，，进而由，得.

设是中的最大数，为中的最大数，则.

由（2）知，，于是，所以，即.

又，故，

从而，

故，所以，

即.

综合①②③得，.

【考点】等比数列的通项公式、求和

【名师点睛】本题有三个难点：一是数列新定义，利用新定义确定等比数列的首项，再代入等比数列通项公式求解；二是利用放缩法求证不等式，放缩的目的是将非特殊数列转化为特殊数列，从而可利用特殊数列的性质，以算代征；三是结论含义的应用，实质又是一个新定义，只不过是新定义的性质应用.