Question

设椭圆 的右焦点为F,右顶点为A.已知 其中O为原点， 为椭圆的离心率.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设过点A的直线与椭圆交于点B（B不在轴上），垂直于的直线与交于点M，与轴交于点H，若BF⊥HF，且MOA≤MAO,求直线的斜率的取值范围.

Answer

（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）求椭圆标准方程，只需确a的值，由，得，再利用，可解得a的值；（Ⅱ）先化简条件：，即M再OA的中垂线上，，再利用直线与椭圆位置关系，联立方程组求；利用两直线方程组求H，最后根据，列等量关系即可求出直线斜率的取值范围.

试题解析：（Ⅰ）【解析】
设，由，即，可得，又，所以，因此，所以椭圆的方程为.

（Ⅱ）【解析】
设直线的斜率为（），则直线的方程为.

设，由方程组，消去，整理得.

解得，或，由题意得，从而.

由（Ⅰ）知，，设，有，.

由，得，所以，解得.

因此直线的方程为.

设，由方程组消去，解得.

在中，，即，

化简得，即，解得或.

所以，直线的斜率的取值范围为.

【考点】椭圆的标准方程和几何性质，直线方程

【名师点睛】在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下五个方面考虑：

（1）利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；

（2）利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是在两个参数之间建立等量关系；

（3）利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；

（4）利用基本不等式求出参数的取值范围；

（5）利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围．