Question

如图，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF⊥平面ABCD，点G为AB的中点，AB=BE=2.

（Ⅰ）求证：EG∥平面ADF；

（Ⅱ）求二面角O−EF−C的正弦值；

（Ⅲ）设H为线段AF上的点，且AH=HF，求直线BH和平面CEF所成角的正弦值.

Answer

（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）；（Ⅲ）.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）利用空间向量证明线面平行，关键是求出平面的法向量，利用法向量与直线方向向量垂直进行论证；（Ⅱ）利用空间向量求二面角，关键是求出平面的法向量，再利用向量数量积求出法向量夹角，最后根据向量夹角与二面角相等或互补关系求正弦值；（Ⅲ）利用空间向量求线面角，关键是求出平面的法向量，再利用向量数量积求出向量夹角，最后根据向量夹角与线面角互余关系求正弦值.

试题解析：依题意，，如图，以为点，分别以的方向为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系，依题意可得，.

（Ⅰ）证明：依题意，.

设为平面的法向量，则，即 .

不妨设，可得，又，可得，

又因为直线，所以.

（Ⅱ）【解析】
易证，为平面的一个法向量.

依题意，.

设为平面的法向量，则，即 .

不妨设，可得.

因此有，于是，

所以，二面角的正弦值为.

（Ⅲ）【解析】
由，得.

因为，所以，进而有，从而，因此.

所以，直线和平面所成角的正弦值为.

【考点】利用空间向量解决立体几何问题

【名师点睛】1．利用数量积解决问题的两条途径 ：一是根据数量积的定义，利用模与夹角直接计算；二是利用坐标运算．

2．利用数量积可解决有关垂直、夹角、长度问题，常用到下列式子：（1）a≠0，b≠0，a⊥b⇔a·b＝0；（2）|a|＝；（3）cos〈a，b〉＝.