Question

已知椭圆C：过A（2,0），B（0,1）两点.

（Ⅰ）求椭圆C的方程及离心率；

（Ⅱ）设P为第三象限内一点且在椭圆C上，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x轴交于点N，求证：四边形ABNM的面积为定值.

Answer

（Ⅰ），；（Ⅱ）见解析.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）根据两顶点坐标可知a,b的值，则亦知椭圆方程，根据椭圆性质及离心率公式求解；（Ⅱ）四边形ABNM的面积等于对角线乘积的一半，分别求出对角线的值求乘积为定值即可.

试题解析：（Ⅰ）由题意得，，．

所以椭圆C的方程为．

又，

所以离心率．

（Ⅱ）设（，），则．

又，，所以，

直线的方程为．

令，得，从而．

直线的方程为．

令，得，从而．

所以四边形ABNM的面积

．

从而四边形ABNM的面积为定值．

【考点】椭圆方程，直线和椭圆的位置关系，运算求解能力.

【名师点睛】解决定值、定点的方法一般有两种：（1）从特殊入手，求出定点、定值、定线，再证明定点、定值、定线与变量无关；（2）直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量，从而得到定点、定值、定线.应注意到繁难的代数运算是此类问题的特点，设而不求方法、整体思想和消元思想的运用可有效地简化运算.