Question

如图，△ABC内接于圆O，分别取AB、AC的中点D、E，连接DE，直线DE交圆O在B点处的切线于G，交圆于H、F两点，若GD=4，DE=2，DF=4．

（Ⅰ） 求证：=；

（Ⅱ）求HD的长．

Answer

（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）2．

【解析】

试题分析：（I）由GB为圆O的切线，可得∠GBA=∠ACB．由DE为△ABC的中位线，可得∠AED=∠ACB，可得△GBD∽△AED，即可证明．

（II）由（I）可知：△GBD∽△AED，可得，由相交弦定理可得；BD•AD=DF•HD，即可得出．

（I）证明：∵GB为圆O的切线，∴∠GBA=∠ACB，

∵DE为△ABC的中位线，∴∠AED=∠ACB，

∴∠GBA=∠AED，

∴△GBD∽△AED，

∴=，又AE=EC，AD=BD，

∴=．

（II）【解析】
由（I）可知：△GBD∽△AED，

∴，可得BD2=DE•GD=8，

由相交弦定理可得；BD•AD=DF•HD，

∴HD==2．