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已知函数f(x)=alnx+x2﹣1 (1)求曲线y=f(x)在点(1,f(1)...

已知函数f(x)=alnx+x2﹣1

(1)求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;

(2)若f(x)>(a+1)lnx+ax﹣1在(1,+∞)上恒成立,求a的取值范围.

 

(1)(a+2)x﹣y﹣a﹣2=0;(2)a的范围是(﹣∞,1]. 【解析】 试题分析:(1)求出函数的导数,求出f(1),f′(1),代入切线方程即可;(2)问题转化为a<x﹣恒成立,令g(x)=x﹣,根据函数的单调性求出a的范围即可. 【解析】 (1)由题意得:f′(x)=+2x,(x>0), ∴f′(1)=a+2,又f(1)=0, ∴切线方程是y=(a+2)(x﹣1), 即(a+2)x﹣y﹣a﹣2=0; (2)由f(x)>(a+1)lnx+ax﹣1得:ax<x2﹣lnx, ∵x>1,∴a<x﹣恒成立, 令g(x)=x﹣,则g′(x)=, 令h(x)=x2+lnx﹣1,则h′(x)=2x+>0, ∴h(x)在(1,+∞)递增,而h(1)=0, ∴x∈(1,+∞)时,h(x)>0,∴g′(x)>0, ∴g(x)在(1,+∞)递增, ∴g(x)>g(1)=1, ∴当a≤1时,a<g(x)恒成立, ∴a的范围是(﹣∞,1].  
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已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1(﹣,0),F2,0),过点F1的直线l与椭圆C相交于A,B两点,且△ABF2的周长为8.

(1)求椭圆C的标准方程;

(2)过点M(﹣a,0)斜率为k的直线交椭圆于点N,直线NO(O为坐标原点)交椭圆于另一点P,若k[,1],求△PMN面积的最大值.

 

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现有A,B,C三种产品需要检测,产品数量如下表:

产品

A

B

C

数量

800

800

1200

 

已知采用分层抽样的方法从以上产品中共抽取了7件.

(1)求分别抽取的三种产品件数;

(2)已知被抽取的A,B,C三种产品中,一等品分别有1件、2件、2件,现再从已抽取的A,B,C三件产品中各抽取1件,求3件产品都是一等品的概率.

 

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如图,在四棱锥P﹣ABCD中,PD⊥平面ABCD,底面ABCD是菱形,∠BAD=60°,AB=2,PD=,O为AC与BD的交点,E为棱PB上一点.

(Ⅰ)证明:平面EAC⊥平面PBD;

(Ⅱ)若PD∥平面EAC,求三棱锥P﹣EAD的体积.

 

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在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且满足:a2=(b﹣c)2+(2﹣)bc,又sinAsinB=

1)求角A的大小;

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已知点F1、F2分别是双曲线C:=1(a>0,b>0)的左,右焦点,过点F1的直线l与双曲线C的左,右两支分别交于P,Q两点,若△PQF2是以∠PQF2为为直角的等腰直角三角形,e为双曲线C的离心率,则e2=            

 

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