Question

已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F₁（﹣，0），F₂（，0），过点F₁的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且△ABF₂的周长为8．

（1）求椭圆C的标准方程；

（2）过点M（﹣a，0）斜率为k的直线交椭圆于点N，直线NO（O为坐标原点）交椭圆于另一点P，若k∈[，1]，求△PMN面积的最大值．

Answer

（1）=1．（2）k=时，△PMN的面积取最大值2．

【解析】

试题分析：（1）由已知利用椭圆性质得c=，4a=8，由此能求出椭圆C的标准方程．

（2）设直线AB的方程为x+2=my，（m=），代入椭圆方程得（m2+4）y2﹣4my＞0，由此利用韦达定理、椭圆对称性求出△PMN的面积，再由函数的单调性能求出△PMN的面积的最大值．

【解析】
（1）∵椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（﹣，0），F2（，0），

过点F1的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且△ABF2的周长为8，

∴c=，4a=8，

∴a=2，b==1，

∴椭圆C的标准方程为=1．

（2）由（1）得a=2，设直线AB的方程为x+2=my，（m=），

代入椭圆方程得（m2+4）y2﹣4my＞0，

∴，

又M（﹣2，0），∴N（，），由对称性知P（﹣，﹣），

∴△PMN的面积S==，

令f（m）=m+，则f（m）在m∈[1，2]上单调递减，

∴当m=2，即k=时，△PMN的面积取最大值2．