Question

已知椭圆的左、右焦点分别为、，短轴两个端点为、，且四边形是边长为2的正方形.

（1）求椭圆的方程；

（2）若、分别是椭圆长轴的左、右端点，动点满足，连结，交椭圆于点.证明：为定值；

（3）在（2）的条件下，试问轴上是否存在异于点的定点，使得以为直径的圆恒过直线的交点，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.

Answer

（1）；（2）见解析；（3）存在．

【解析】

试题分析：（1）首先根据题意求得的值，然后求出的值，即可求出椭圆方程；（2）首先求出占的坐标，然后根据题意设出直线的方程，并与椭圆方程联立，从而利用韦达定理得出点的坐标，进而利用向量数量积运算公式使问题得证；（3）先假设存在，然后利用圆上的点与直径的连线垂直即可解决问题．

试题解析：（1）如图，由题意得，，

∴，，

∴所求的椭圆方程为.

（2）由（1）知，，.

由题意可设：,，

∵，∴.

由整理得.

∵，∴，

所以，

∴，

即为定值.

（3）设，则.

若以为直径的圆恒过的交点，则，

∴恒成立.

由（2）可知，，

∴，即恒成立，∴，

∴存在使得以为直径的圆恒过直线的交点．

考点：1、椭圆的方程及几何性质；2、直线与椭圆的位置关系；3、向量数量积的运算．

【方法点睛】解析几何中的定值问题，通常需根据已知条件设出一个参数，然后用这个参数表示出相应点的坐标，直线斜率、直线方程或曲线方程等等，再求出结论，如本题求出，它的最终结果与参数无关，是定值．