Question

已知抛物线：的焦点为，若过点且斜率为1的直线与抛物线相交于，两点，且．

（1）求抛物线的方程；

（2）设直线：，为上一点，求的最小值．

Answer

（1）；（2）．

【解析】

试题分析：（1）首先根据条件得到过点且斜率为1的直线的方程，然后联立抛物线的方程，利用韦达定理结合抛物线的定义求出的值，从而得到抛物线的方程；（2）首先设出点坐标，然后根据向量数量积的运算公式，结合（1）利用韦达定理求得的最小值．

试题解析：（1）由题可知，则该直线方程为，

代入，得．

设，则有．

∵，∴，即，解得，

∴抛物线的方程为．

（2）设，则＝，＝，

∴＝

＝．

由（1）可知：，，∴，．

∴，∴

∴＝，

当且仅当，即点的坐标为（2，3）时，的最小值为．

考点：1、抛物线的定义及几何性质；2、直线与抛物线的位置关系；3、向量数量积运算．