Question

工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务，每次只派一个人进去，且每个人只派一次，工作时间不超过10分钟，如果前一个人10分钟内不能完成任务则撤出，再派下一个人。现在一共只有甲、乙、丙三个人可派，他们各自能完成任务的概率分别，假设互不相等，且假定各人能否完成任务的事件相互独立.

（1）如果按甲最先，乙次之，丙最后的顺序派人，求任务能被完成的概率．若改变三个人被派出的先后顺序，任务能被完成的概率是否发生变化？

（2）若按某指定顺序派人，这三个人各自能完成任务的概率依次为，其中是的一个排列，求所需要派出人员数目的分布列和均值（数字期望）；

（3）假定，试分析以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目的均值（数字期望）达到最小．

Answer

（1），不论如何改变三个人被派出的先后顺序，任务能被完成的概率不发生变化；（2）分布列见解析，；（3）先派甲,再派乙,最后派丙时, 均值（数字期望）达到最小．

【解析】

试题分析：（1） 无论以怎样的顺序派出人员，任务不能被完成的概率都是可以解得，所以任务能被完成的概率与三个被派出的先后顺序无关，则可得；（2） 首先得出的所有可能取值，然后分别求出相应概率，从而列出分布列，算出均值；（3）由（2）的结论知，当以甲最先、乙次之、丙最后的顺序派人时，根据常理，优先派出完成任务概率大的人，可减少所需派出的人员数目的均值．

试题解析：（1）按甲在先,乙次之,丙最后的顺序派人,任务能被完成的概率为．

若甲在先,丙次之,乙最后的顺序派人,任务能被完成的概率为

，

发现任务能完成的概率是一样.

同理可以验证，不论如何改变三个人被派出的先后顺序，任务能被完成的概率不发生变化.

（2）由题意得可能取值为

∴，

∴其分布列为:

．

（3）,

∴要使所需派出的人员数目的均值（数字期望）达到最小,

则只能先派甲、乙中的一人.

∴若先派甲,再派乙,最后派丙,则；

若先派乙,再派甲,最后派丙, 则，

，

∴先派甲,再派乙,最后派丙时, 均值（数字期望）达到最小．

考点：1、相互独立事件的概率；2、离散型随机变量的分布列与数学期望．

【警示点睛】求解相互独立事件时，要注意：（1）正确设出有关事件；（2）在应用相互独立事件的概率乘法公式时，要认真审题，注意关键词“至少有一个发生”、“至多有一个发生”、“恰有一个发生”的意义，正确地将其转化为互斥事件进行求解；（3）正面计算较繁或难于入手时，可以从其对立事件入手进行计算．