Question

已知函数，曲线在处的切线方程为.

（1）求的值；

（2）求函数在上的最大值；

（3）证明：当时，.

Answer

（1）；（2）最大值是；（3）证明见解析．

【解析】

试题分析：（1）已知切点与切线，已知条件，由此可解得；（2）求最值，首先求导数，，要确定它的正负，可再确定它的单调性，即求得，利用的正负可得，从而知，因此在上递增，最大值为；（3）在证明本题之前，首先研究（1）（2）的结论，（1）结论是函数在处的切线方程是，因此想象当时，，（用导数的知识可证），即，，再由得，，即，代入上式即可证得结论．

试题解析：（1），由题设得，，，

解得，．

（2）法1：由（Ⅰ）知，，

故在上单调递增，所以，．

法2：由（Ⅰ）知，，

在上单调递减，在上单调递增，

所以，，

所以，在上单调递增，所以，．

（3）因为，又由（Ⅱ）知，过点，且在处的切线方程为，故可猜测：当时，的图象恒在切线的上方．

下证：当时，．

设，则，

由（Ⅱ）知，在上单调递减，在上单调递增，

又，

所以，存在，使得，

所以，当时，；当，，

故在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．

又，当且仅当时取等号．

故．

由（Ⅱ）知，，故，当且仅当时取等号．

所以，．

即．所以，，

即成立，当时等号成立．

考点：导数的几何意义，导数与单调性、最值，导数的综合应用．

【名师点睛】本题考查导数的综合应用，考查 用导数证明不等式．第（3）小题的不等式中出现指数函数与对数函数，同时处理可能比较难，因此直接联想对数函数它在处与直线相切，因此有，当时，，这样有，从而如果能证明即证原不等式，这里只有一个超越函数，由导数的知识可证．这里利用不等式的放缩法．