Question

如图，在四棱锥中，侧面底面，侧棱，，底面为直角梯形，其中，，，为的中点.

（1）求证：平面；

（2）求点到平面的距离；

（3）线段上是否存在一点，使得二面角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.

Answer

（1）见解析；（2）；（3）存在，且.

【解析】

试题分析：（1）要证线面垂直，由于已有面面垂直，因此想到利用面面垂直的性质定理，只要能证明与交线垂直即可，这由等腰三角形性质可得；（2）有了（1）的结论，我们以为原点，为轴，为轴，轴与同向，则可写出各点坐标，求出平面的法向量，则点到平面的距离为；（3）本小题探索性命题（存在性问题），可假设存在，并设，由于 ，可得，从而求得平面的法向量，平面的法向量是，利用法向量夹角与二面角的关系可得．

试题解析：（1） 因为， ，为的中点， 所以 ，

因为侧面底面，所以平面 ．

（2），设平面的法向量为，

则，取，得，

点到平面的距离.

（3）假设存在，则设，

因为，所以，

设平面的法向量为，则，

所以取，

平面的法向量，

因为二面角的余弦值为，

所以，

所以，

所以或（舍去），

所以.

考点：线面垂直的判断，点到平面的距离，二面角．

【名师点睛】在解决立体几何问题时，如果能直接根据线面关系的判定定理进行证明判断，一般直接证明即可，但在涉及到空间距离、空间角的计算时，一般要利用空间向量法，特别是图形中有两两垂直的三条直线时，就把它们作为坐标轴，建立空间直角坐标系，写出各点坐标，求出相应向量，再求得距离、角．