Question

已知椭圆的长轴长为，为坐标原点.

（1）求椭圆的方程和离心率；

（2）设点，动点在轴上，动点在椭圆上，且在轴的右侧，若，求四边形面积的最小值.

Answer

（1），；（2）.

【解析】

试题分析：（1）把椭圆方程化为标准方程：，则有，，从而由已知长轴长可求得，同时得到离心率；（2）本题中有两个变量，一个是点，一个是点，解题时要确定一个主变量，从解题方便程度入手，以点为主，设，点是的中垂线与轴的交点，由此（由中点及斜率写出中垂线方程）可得点坐标，从而可得四边形面积，利用可把用表示出来，结合的范围及基本不等式可得面积最小值．

试题解析：（1）【解析】
由题意，椭圆C：，

所以，，

故，解得，

所以椭圆的方程为.

因为，

所以离心率.

（2）设线段的中点为，

因为，所以，

由题意，直线的斜率存在，设点，

则点的坐标为，

且直线的斜率，

所以直线的斜率为，

所以直线的方程为：.

令，得，则，

由，得，

化简，得.

所以四边形的面积

.

当且仅当，即时等号成立.

所以四边形面积的最小值为.

考点：椭圆的标准方程，圆锥曲线的综合应用．