Question

已知函数 .

（1）若，讨论函数在区间上的单调性；

（2）若且，对任意的，试比较与的大小．

Answer

（1）当时，函数在区间上单调递减，当时，函数在区间上单调递增，当时，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减；（2）.

【解析】

试题分析：（1）函数，所以可得函数.通过对函数求导，以及对讨论即可得到结论；（2）由且对任意的，将换成，消去一个参数，又恒成立.构建新函数，通过对函数求导得到，对的取值讨论，即可得结论.

试题解析：（1）时，，则，

当时，，所以函数在区间上单调递减；

当时，，所以函数在区间上单调递增；

当时，存在，使得，即，

时，，函数在区间上单调递增，

时，，函数在区间上单调递减．

（2）时，，猜测恒成立，

证明：等价于，

记，则

，

当，即时，，在区间上单调递减，

所以当时，，即恒成立；

考点：（1）函数的单调性；（2）函数的最值；（3）转化与化归的思想.

【方法点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性，不等式的恒成立问题，考查了转化与化归的数学思想，属于中档题.利用导数研究函数的单调性时，先求出导函数的零点，再来通过研究导函数的符号情况，得到其单调性；本题解答的难点是探索与的大小，本质上是研究函数的最值情况，通过构造函数，并研究其单调性得其最大值，即可得到问题的答案.